数学

DeepSeek 答：数学作为一门结构严谨的基础学科，其分类体系随着历史发展不断演变，可以从多个维度进行系统性划分。以下是基于研究对象和方法论的现代数学分类框架，包含主要分支及其典型研究方向：

一、基础数学（纯数学）

1. 数论

解析数论：黎曼猜想、素数分布
代数数论：类域论、椭圆曲线
计算数论：密码学应用、素性检测

2. 代数学

抽象代数：群论（李群、有限群）、环论、域论
线性代数：矩阵理论、张量代数
同调代数：范畴论、模论
表示论：群表示、李代数表示

3. 几何与拓扑

微分几何：黎曼几何、复几何
代数几何：概形理论、双有理几何
拓扑学：代数拓扑（同调论）、微分拓扑
低维拓扑：四维流形、纽结理论

4. 分析学

实分析：测度论、泛函分析
复分析：解析延拓、共形映射
调和分析：傅里叶分析、小波理论
泛函分析：算子代数、巴拿赫空间

5. 逻辑与集合论

模型论：可计算性理论
证明论：类型论、构造主义
公理集合论：大基数公理、力迫法

二、应用数学

1. 微分方程与动力系统

偏微分方程：椭圆型/抛物型方程
混沌理论：分形几何、吸引子
随机微分方程：伊藤积分

2. 概率与统计

随机过程：马尔可夫链、布朗运动
数理统计：贝叶斯推断、非参数统计
统计物理：相变理论、伊辛模型

3. 计算数学

数值分析：有限元方法、谱方法
符号计算：计算机代数系统
优化理论：凸优化、组合优化

4. 离散数学

组合数学：图论、设计理论
密码学：椭圆曲线加密、格密码
编码理论：纠错码、信息论

三、交叉学科

1. 数学物理

量子场论：规范理论、弦论
广义相对论：爱因斯坦方程解
可积系统：孤子理论

2. 生物数学

数学生态学：种群动力学
生物信息学：序列分析
神经科学建模：神经网络动力学

3. 金融数学

衍生品定价：Black-Scholes模型
风险管理：VaR计算
高频交易算法

4. 计算机数学

计算复杂性：P vs NP问题
密码学：零知识证明
机器学习理论：深度学习收敛性

四、现代数学前沿

朗兰兹纲领：数论与表示论的统一
几何表示论：几何与代数的深层联系
随机几何：量子引力中的空间结构
拓扑数据分析：持续同调应用
量子计算数学：量子纠错码设计

五、数学基础问题

千禧年七大难题：Navier-Stokes存在性、Hodge猜想等
希尔伯特23问题未解部分
数学基础一致性证明